台球厅的管理涉及多个部门，具体如下：
文化部门
文化部门有时也被提及为管理台球室的相关部门，特别是在一些地方性的规定中，台球室可能被视为娱乐行业的一部分，从而由文化部门负责审批和监管。
体育部门
根据《中华人民共和国体育法》的规定，县级以上各级人民政府体育行政部门对以健身、竞技等体育活动为内容的经营活动负有管理和监督职责。因此，台球厅作为体育活动场所，通常由体育行政主管部门监管。
公安部门
台球厅需要办理消防安全许可证、个体户营业执照、公安许可证等，并接受公安部门的监督和管理。此外，台球厅的运营还需符合相关的治安管理要求。
工商部门
台球厅的营业执照办理需向当地工商行政管理部门申请，并接受其监督管理。工商行政管理部门负责个体工商户的登记和管理工作。
税务部门
台球厅在运营过程中需要向税务部门进行税务登记，并依法纳税。
消防部门
台球厅必须符合消防安全规定，办理相应的消防许可证。
综上所述，台球厅的管理涉及文化、体育、公安、工商、税务和消防等多个部门。具体管理职责可能会根据当地政策和法规有所侧重，建议经营者在运营台球厅时，详细了解并遵守当地的相关规定。