体育彩票的管理涉及多个部门，但主要由中国 财政部和国家体育总局共同负责。具体职责划分如下：
财政部
制定彩票监督管理制度和政策。
监督管理全国彩票市场以及彩票的发行和销售活动，监督彩票资金的解缴和使用。
会同民政部、国家体育总局等有关部门提出彩票公益金分配政策建议。
审批彩票品种的开设、停止和有关审批事项的变更。
审批彩票发行机构财务收支计划，监督彩票发行机构财务管理活动。
审批彩票发行机构的彩票销毁方案。
民政部和国家体育总局
按照各自的职责分别负责全国的福利彩票、体育彩票管理工作。
制定全国福利彩票、体育彩票事业的发展规划和管理制度。
设立福利彩票、体育彩票发行机构。
制定民政部门、体育行政部门彩票公益金使用管理办法，指导地方民政部门、体育行政部门彩票公益金的使用和管理。
审核福利彩票、体育彩票品种的开设、停止和有关审批事项的变更。
监督福利彩票、体育彩票发行机构的彩票销毁工作。
制定福利彩票、体育彩票的代销合同示范文本。
此外， 省级财政部门负责本行政区域的彩票监督管理工作，并会同省级民政部门、体育行政部门制定本行政区域的彩票公益金管理办法。
综上所述，体育彩票的管理主要由中国财政部和国家体育总局共同负责，具体职责包括制定政策、监督管理、审批发行、监督资金使用等。省级财政部门、民政部门和国家体育总局在各自的行政区域内也承担相应的彩票管理和监督工作。