台球室的监管涉及多个部门，具体包括：
体育行政主管部门：
根据《中华人民共和国体育法》第四十三条，县级以上各级人民政府体育行政部门对以健身、竞技等体育活动为内容的经营活动，应当按照国家有关规定加强管理和监督。
广电部门：
台球室作为娱乐性质的行业，归广电部门管理，包括审批和检查等。
公安机关：
台球室需要获得公安机关的监管许可证，并进行消防安全检查。
市场监管部门：
涉及营业执照的办理、税务登记以及价格监管等。
消防救援大队：
确保台球室的消防安全，需要获得相应的消防安全许可证。
文旅部门：
部分地区还涉及文化和旅游方面的监管。
司法局：
进行行政执法监督，确保经营活动在法律框架内进行。
综上所述，台球室的监管是一个多部门协作的过程，涉及体育、广电、公安、市场监管、消防救援、文旅和司法等多个部门。建议在开设台球室时，详细了解并遵守相关法律法规，确保合法合规经营。