除以11的余数可能是 0到10之间的任意一个整数。具体来说，当一个数除以11时，其余数可以是以下值之一：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
这个结论是基于整数除法的定义和性质得出的。当一个整数被另一个整数除时，如果不能整除，那么就会产生一个余数，这个余数必须小于除数。在这个问题中，除数是11，因此余数只能是0到10之间的整数。
此外，还有一些其他的方法可以用来求解一个数除以11的余数。例如，可以通过计算这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差，然后将这个差除以11来得到余数。如果这个差是11的倍数，那么余数就是0；否则，余数就是这个差本身。
综上所述，除以11的余数可以是0到10之间的任意一个整数。