体育培训班的管理主要涉及以下几个部门：
文旅局或体育局
文旅局：全称文化和旅游局，负责研究拟定旅游业发展的方针、政策和规划，组织拟定旅游业的法规、规章及标准并监督实施。体育类培训机构的管理归文旅局负责，包括审核、批准、注册以及监督等。
体育局：体育部门负责体育培训机构的管理，包括制定体育培训机构的政策和标准，审批和监管体育培训机构的运营。
教育部门
教育部门负责中小学学科类培训机构和各类外语培训机构的管理，不直接管理体育类培训机构。但在一些地区，体育培训机构可能需要同时具备教育机构的资质，因此需要经过当地教育主管部门的审核和批准。
消费者协会和工商行政管理部门
消费者协会可以提供消费者维权的相关咨询和服务，协助解决投诉纠纷。
工商行政管理部门负责对体育培训机构的工商注册和行政审批等事项进行管理。
其他相关部门
市教育体育局会同市市场监督管理局、市消防救援大队、市公安局、市卫生健康局等相关部门在全市范围内开展专班联合检查，提出改善建议和解决方案。
人社局：负责职业技能类培训机构的监管。
科信局或工信局：监督管理科技类培训机构。
街道办事处：负责其他类型培训机构及托管机构的统一管理。
消费者权益保护局：涉及消费者权益保护等方面的监管。
综上所述，体育培训班的管理主要归文旅局或体育局主管，具体管理职责包括审核、批准、注册以及监督等。同时，教育部门在一些地区可能要求体育培训机构具备教育机构的资质，并进行审核和批准。此外，消费者协会、工商行政管理部门、人社局、科信局或工信局、街道办事处和消费者权益保护局等部门也涉及体育培训机构的监管工作。建议相关培训机构在成立和运营过程中，明确了解并遵守相关法律法规，确保合法合规经营。