根据提供的文档，连州市中过的大奖包括：
大乐透二等奖及以上奖项
2020年5月，清远市清城区石角镇中得第20033期2303万多元。
2020年6月，清远市区中得第20053期3600万元。
2020年8月底9月初，清远连州同一实体店两次中得二等奖，分别为第20081期32万多元和第20084期20万多元。
2020年9月7日，清远市清城区石角镇另一间又中得第20086期1032万多元。
双色球一等奖
2020年11月1日，双色球第20200108期开奖，清远连州一位彩民小周以一张复式彩票摘得1注一等奖，总奖金603万元。
双色球二等奖
2017年10月22日，双色球第2017124期开奖，全国开出二等奖126注，其中2注花落清远连州，单注奖金157228元。
综上所述，连州市中过的大奖包括大乐透二等奖及以上奖项、双色球一等奖和二等奖，共计 至少6次。